分式方程无解有哪几种情况?分式方程应该怎么学习?

来源:胡老师数学教育编辑:七七2019-06-18 10:45:06阅读量:

  分式方程是整个初中的学习重点,分式方程是初中数学必备的内容,也是中考的命题热点。所以说这一部分的学习非常的重要。在中考的时候这样的题目是必出的题目,所以说大家一定要把握好重点进行学习!那么分式方程无解的时候有哪些情况呢?在分式方程的学习中需要注意以下几方面的问题。高中学习网小编为大家详细解读这个问题!

分式方程无解有哪几种情况?分式方程应该怎么学习?
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  一、分式方程的认识

  什么是分式方程呢?分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

  分式方程的概念比较简单,分母中是否含有未知数是判断分式方程的重要依据。判断分式方程时,不能对方程进行约分、通分变形。

  在分式方程的判断中需要注意圆周率π是数值。不是字母,也就是说,分母中含有π的方程不一定是分式方程。

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  二、分式方程的解法

  解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程再解答,体现了转化的思路。

  解分式方程一般包含以下基本步骤:

  ①观察分式方程的特征,注意看分母,能分解因式的先分解,然后去寻找最简公分数。

  找最简公分母的方法:将每个分母分解因式,找出所有出现因式的最高次幂,它们的积为最简分母的因式。

  ②去分母,给分式方程中的每一项都乘最简公分母,再约分,把原方程转化为整式方程;

  注意:去分母时要给每一项都乘以最简公分母,不含分母的项不要忘乘最简公分母。

  ③解这个整式方程,得到整式方程的解;

  这一步一般需要运用到整式的乘法、合并同类项、解一元一次方程或一元二次方程等知识点,之前的基础不牢固的话,需要先去复习巩固。

  ④验根,将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,那么整式方程的解是原分式方程的解;否则这个分式方程无解,x的值是这个分式方程的增根。

  验根很容易被忽视,最终的解只是分式方程化为整式方程之后的解,不一定能满足分式方程的分母不为0这个条件,所以需要验根。

  看一道例题:

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  观察这个分式方程,发现分母能分解因式,所以在寻找最简公分母之前,先分解因式:

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  最简公分母为(x-1)(x+1),

  分式方程两边每一项都乘以最简公分母,注意不要忘记给常数项1也乘以最简公分母。

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  熟练之后,以上两步可以合并。

  化为整式方程之后,进行下一步的计算,

  整式乘法、

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  移项

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  合并同类项:

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  最终结果为:

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  别忘了验根,可以将x的值代入分别代入原分式方程左右两边看是否相等;也可以将x的值代入最简公分母中,检验最简公分母是否为0。

  在本题中,将x=1/2中,经检验,最简公分母不为0,所以x=1/2是远分式方程的解。

  三、分式方程无解

  在解分式方程的最后一步需要验根,把整式方程的根代入最简公分母中,使最简公分母不等于零的值是原方程的根;使最简公分母等于零的值是原方程的增根。

  分式方程的增根需要满足两个条件:

  ▲①增根能使最简公分母等于0.

  ▲②增根是去分母后所得整式方程的根.

  为什么会产生增根呢?

  增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的.

  根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得的方程是原方程的同解方程。

  如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得的方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根,即原分式方程无解。

  看下面的这道题目:

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  验根,将x=-1代入最简公分母x(x+1)中,计算发现最简公分母为0,则x=-1是原分式方程的增根,原分式分析无解。

  四、分式方程中的字母参数问题

  先来看看分式方程中涉及字母参数的两种问题:

  1、分式方程有增根,求字母参数的值。

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  根据增根的概念,增根是原分式方程化成的整式方程的解,即所化为的整式方程是有解的;这个解会让最简公分母为0.

  观察原分式方程,可得最简公分母为x-2,分母中的(x-2)和(2-x)可以相互转化,

  有增根,说明了最简公分母x-2=0,则可得x=2,求出了分式方程化为整式方程之后的解。

  接下来,解原分式方程即可,注意将字母参数k先当成数字,

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  将x=2代入最后的式子中可得到关于k 的方程,解方程可得k=1.

  也可以在去分母之后直接将x=2代入所化成的整式方程中,得到关于k的方程,解方程同样可得k=2.

  2、分式方程有无解,求字母参数的值。

  分式方程无解的两种情况:

  ▲①将分式方程通过去分母变为整式方程后,整式方程无解;

  ▲②整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母为0,即求得的根为增根。

  在没有特殊说明的情况下,两种情况都要考虑,不可忽略任何一种情况。

  将上面的例题稍微做一改变,如:

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  先来化简原分式方程,注意将字母参数k先当成数字,与上面一样,

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  到了这一步,需要注意分类来讨论无解的情况:

  第一种情况:将原分式方程通过去分母变为整式方程后,整式方程无解;

  在本题中,

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  第二种情况:整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母为0,即求得的根为增根。

  在本题目中,

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  最终可得,当k=1或2时,原分式方程无解。

  通过上面的两道例题可得,在字母参数问题中要注意题意,到底是是有增根还是无解,是两种不同的情况,无解包含着产生增根和化成的整式方程无解两种情况。

  来练习一道题目:

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  相信大家都已经了解了相关的问题了吧,希望小编的总结对大家有帮助!高中网也会持续更新相关内容,大家可以持续关注高中网!

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